الوحدة الأولى أنظمة العد منهاج الحاسوب الصف الثاني عشر الاردن

 

الفصل الأول: مقدمة في أنظمة العد

·      مقدمة تاريخية عن أنظمة العد : اهتمت الشعوب بأنظمة العد ، واستعملت الكثير منها .

·      البابليون استخدموا نظام العد الستيني.

·      استخدمت شعوب أخرى نظام العد الثاني عشر والنظام الروماني.

·      العرب المسلمون ، برعوا في هذا المجال حيث أخذوا عن الهنود فكرة الأعداد وحددوا لها أشكالاً وأضافوا لها الصفر حتى أصبحت الأرقام ( 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 ) وهي تسمى الأرقام العربية ولا تزال تستخدم في معظم أرجاء العالم حتى يومنا هذا

---

Ø  علل سبب بروز أهمية نظام العد ( أو ) ما أهمية نظام العد

لاستعمالها بكثرة في الحوسبة ومعالجة البيانات وفي القياسات وأنظمة التحكم والاتصالات والتجارة وذلك لأنها تمتاز بالدقة

---

Ø  وضح المقصود بالنظام العددي : مجموعة من الرموز وقد تكون هذه الرموز أرقاما أو حروفا مرتبطة مع بعضها البعض بمجموعة من العلاقات وفق أسس وقواعد معينة ؛ لتشكل الأعداد ذات المعاني الواضحة والاستخدامات المتعددة

---

Ø  ما هو سبب الاختلاف في أسماء الأنظمة  العددية؟

اختلاف عدد الرموز المسموح  باستخدامها في كل نظام

فالنظام الذي يستخدم عشرة رموز يسمى )النظام العشري( والنظام الذي يستخدم رمزين فقط يسمى )النظام الثنائي( وكذلك في النظام الثماني الذي يستخدم ثمانية رموز ،والنظام السادس عشرالذي يستخدم ستة عشر رمزا .

 

 

 

الدرس الأول : النظام العشري

Ø  عرف النظام العشري؟

أكثر الأنظمة استعمالا ويتكون من عشرة رموز هي  9, 8,7,6,5,4,3,2,1,0

وأساس هذا النظام هو 10 

---

Ø  سبب تسمية النظام العشري بهذا الاسم .

لاحتوائه على عشرة رموز

ü  يرمز اسم أي نظام عد إلى عدد الرموز المستخدمة لتمثيل الأعداد فيه . ü  أساس أي نظام عد يساوي عدد الرموز المستخدمة لتمثيل الأعداد

 

 

 

 

 

 

 

كيف تمثل الأعداد في النظام العشري : بواسطة قوى الأساس 10 التي تسمى أوزان خانات العدد يحسب وزن الخانة (المنزلة(  في أي نظام عددي حسب المعادلة التالية

لىب وزن الخانة ( المنزلة ) = ( أساس نظام العد ) ^{ترتيب الخانة لاتاتات}

 

ترتيب وأوزان خانات نظام العد العشري

ترتيب الخانة ( المنزلة )	0	1	2	3	.......
اسم الخانة	آحاد	عشرات	مئات	الألوف	.......
وزن الخانة = ( الأساس10 ) ترتيب الخانة	100	101	102	103	.......
اوزان الخانات بالأعداد صحيحة	1	10	100	1000	.......

 

 

 

Ø  يعد النظام العشري أحد أنظمة العد الموضعية .

يسمى نظام العد موضعيا إذا كانت القيمة الحقيقة للرقم تعتمد على الخانة  او المنزلة التي يقع فيها ذلك الرقم  داخل العدد ما  يعني أن قيمة الرقم تختلف باختلاف موقعه داخل العدد

ü  جميع أنظمة العد التي ستمر معنا ) الثنائي والثماني والسادس عشر ( أنظمة عد موضعية ولها نفس تفسير النظام العشري

 

 

 

 

 

ü  لحساب قيمة العدد في النظام العشري نطبق القاعدة التالية :

قيمة العدد في النظام العشري  )قيمة العدد العشري )   =  مجموع حاصل ضرب كل رقم بالوزن المخصص للخانة )المنزلة(  التي يقع فيها ذلك الرقم داخل العدد

---

v مثال  : لحساب قيمة العدد 2354

ترتيب الخانة ( المنزلة )	0	1	2	3
	4	5	3	2
قيمة العدد = الرقم ×  الاساس ( ترتيب الخانة )
اوزان الخانات بالأعداد صحيحة	4	50	300	2000
	2000 + 300 + 50 + 4 = 2354

---

Ø  ما الفرق بين الرقم والعدد؟

الرقم : رمز واحد من الرموز الأساسية (9, 8,7,6,5,4,3,2,1,0 ) يستخدم للتعبير عن العدد الذي يحتل خانة واحدة

العدد : المقدار الذي يمثل برقم واحد أو أكثر،أو منزلة واحدة أو أكثر

 

ملاحظة هامة : كل رقم هو عدد وليس كل عدد رقم

الدرس الثاني : النظام الثنائي

 

Ø  علل على الرغم من أن النظام العشري هو النظام الأكثر استعمالاً إلا انه لا يمكن استخدامه داخل الحاسوب

( أو )

Ø  يعد النظام الثنائي أكثر أنظمة العد ملائمة للاستعمال داخل الحاسوب .

( لأن بناء الحاسوب يعتمد على ملايين من الدوائر الكهربائية التي تكون إما مفتوحة وإما مغلقة لذا دعت الحاجة إلى استخدام نظام يمكنه  التعبير عن هذه الحالة  ، فالنظام الثنائي الذي يتكون من رمزين فقط هما ( 1 , 0 ) هو القادر على تمثيل هذه الحالة فالرمز ( 0 )يمثل   دائرة   كهربائية    مفتوحة والرمز(1 ) يمثل دائرة  كهربائية  مغلقة )

---

Ø  وضح المقصود بالنظام الثنائي

هو نظام عد مستخدم في الحاسوب أساسه 2 ويتكون من رمزين فقط هما 1 , 0 .

ü  يسمى كل من هذين الرمزين( 0 ، 1 ) رقما ثنائيا(Binary Digital)  واختصاره Bit ü  يتم تمثيل أي من الرمزين 1 , 0 باستخدام خانة واحدة فقط

 

 

 

 

 

 

 

Ø  وضح المقصود بالبت.

الخانة ) المنزلة ( التي يحتلها الرمز داخل العدد الثنائي .

 

Ø  مما يتكون العدد المكتوب في النظام الثنائي.

من سلسلة من الرموز الثنائية 0 و 1 مع إضافة أساس النظام الثنائي 2 بشكل مصغر من جهة اليمين

ü    لبيان نوع النظام المستخدم عند التعبير عن عدد معين يضاف أساس النظام بشكل مصغر في  آخر العدد ،وفي حالة عدم وجود أي رمز تحت العدد يدل ذلك على أن العدد ممثل بالنظام العشري . ü    يعد النظام الثنائي أحد الأنظمة الموضعية ) مشابه للنظام العشري( .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ترتيب وأوزان خانات نظام العد الثنائي

ترتيب الخانة ( المنزلة )	0	1	2	3	.......
اسم الخانة	آحاد	عشرات	مئات	الألوف	.......
وزن الخانة = ( 2) ترتيب الخانة	20	21	22	23	.......
أوزان الخانات بالأعداد صحيحة	1	2	4	8	.......

 

( رموز النظام العشري  وما يكافئها في النظام الثنائي)

النظام العشري	النظام  الثنائي		النظام العشري	النظام  الثنائي		النظام العشري	النظام  الثنائي
0	0000		7	0111		14	1110
1	0001		8	1000		15	1111
2	0010		9	1001		16	10000
3	0011		10	1010		17	10001
4	0100		11	1011		18	10010
5	0101		12	1100		19	10011
6	0110		13	1101		20	10100

الدرس الثالث : النظام الثماني والنظام السادس عشر

 

Ø  علل سبب استخدام النظام الثنائي داخل الحاسوب.

لتخزين البيانات وعنونة مواقع الذاكرة

---

Ø  سبب استخدام النظام الثماني والنظام السادس عشر.

لأن استخدام النظام الثنائي داخل الحاسوب لتخزين البيانات وعنونة مواقع الذكرة كان يتطلب قراءة سلاسل  طويلة من الأرقام الثنائية لذا كان لا بد من استخدام أنظمة أخرى  كالنظامين الثماني والسادس عشر لتسهل على المبرمجين استخدام الحاسوب .

---

Ø  وضح المقصود بالنظام الثماني (Octal System)  :

أحد أنظمة العد الموضعية وأساسه (8) ويتكون من ثمانية رموز هي (7,6,5,4,3,2,1,0) وتستخدم هذه الرموز لكتابة الأعداد  في النظام الثماني.

 

ترتيب وأوزان خانات نظام العد الثماني

ترتيب الخانة ( المنزلة )	0	1	2	3	.......
وزن الخانة = ( 8) ترتيب الخانة	80	81	82	83	.......
اوزان الخانات بالأعداد صحيحة	1	16	64	512	.......

 

Ø  وضح المقصود بالنظام السادس عشر.

أحد الأنظمة الموضعية وأساسه ( 16) ويتكون من ستة عشر رمزا،هي (F,E,D,C,B,A,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0)  وتستخدم هذه الرموز لكتابة الأعداد في النظام السادس عشر

ترتيب وأوزان خانات نظام العد السادس عشر

ترتيب الخانة ( المنزلة )	0	1	2	3	.......
وزن الخانة = ( 16 ) ترتيب الخانة	160	161	162	163	.......
اوزان الخانات بالأعداد صحيحة	1	16	265	4096	.......

 

) رموز النظام العشري وما يكافئها في النظام السادس العشر )

 

الرقم العشري	المكافئ له في النظام السادس عشر		الرقم العشري	المكافئ له في النظام السادس عشر
0	0		8	8
1	1		9	9
2	2		10	A
3	3		11	B
4	4		12	C
5	5		13	D
6	6		14	E
7	7		15	F

الفصل الثاني : التحويلات العددية

الدرس الأول : التحويل من أنظمة العد المختلفة إلى النظام العشري

يتم التحويل من أي نظام عد ( الثنائي ، الثماني ، السادس عشر )إلى النظام العشري بإتباع الخطوات التالية :

-1 رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين الى اليسار تصاعديا من 2,1,0 ... الخ

-2 طبق القاعدة التالية :

قيمة العدد = مجموع حاصل ضرب كل رقم بالوزن المخصص للخانة )المنزلة( التي يقع فيها ذلك الرقم داخل العدد

---

v حول )جد قيمة ( كل من الأعداد التالية الى النظام العشري )أو( جدا لمكافئ لكل من الأعداد التالية في النظام العشري :

1)  ₂ ( 1101 )

أولا : رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديا

لا تنسى ان تبدا العدد من الرقم صفر

 

0	1	2	3
1	0	1	1

 

ثانياُ : نضرب كل رقم بالأساس ( 2 ) ( لان الرقم المراد تحويله رقم ثنائي ) مرفوع للأس الترتيب

1 × 20 = 1

0 × 21 =0

1 × 22 = 4

1 × 23 = 8

ثالثاُ : نجمع نواتج عملية الضرب

1 + 0 + 4 + 8 = 13

2( 1101 ) = 10( 13 )

 

2)  ₂(0 1111 )

أولا : رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديا

لا تنسى أن تبدأ العدد من الرقم صفر

 

0	1	2	3	4
0	1	1	1	1

 

ثانياُ : نضرب كل رقم بالأساس ( 2 ) ( لان الرقم المراد تحويله رقم ثنائي ) مرفوع للأس الترتيب

0 × 20 = 0

1× 21 =2

1 × 22 = 4

1 × 23 = 8

1 × 24 = 16

ثالثاُ : نجمع نواتج عملية الضرب

0 + 1 + 4 +  +8 + 16= 30

2( 1101 ) = 10( 30 )

---

3)  ₈(25 )

أولا : رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديا

لا تنسى إن تبدأ العدد من الرقم صفر

 

0	1
5	2

 

ثانياُ : نضرب كل رقم بالأساس ( 8 ) ( لان الرقم المراد تحويله رقم ثماني ) مرفوع للأس الترتيب

5 × 80 = 5

2 × 81 =16

ثالثاُ : نجمع نواتج عملية الضرب

5 + 16 = 37

8( 25 ) = 10( 21 )

 

4)  ₈(43 )

أولا : رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديا

لا تنسى أن تبدأ العدد من الرقم صفر

 

0	1
3	4

 

ثانياُ : نضرب كل رقم بالأساس ( 8 ) ( لان الرقم المراد تحويله رقم ثماني ) مرفوع للأس الترتيب

3 × 80 = 3

4× 81 =32

ثالثاُ : نجمع نواتج عملية الضرب

3 + 32 = 35

8( 43 ) = 10( 35 )

 

---

5)  ₁₆(A2 )

أولا : رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديا

ارجع جدول صفحة 7 تجد ان قيمة  A  = 10

لا تنسى أن تبدأ العدد من الرقم صفر

 

0	1
2	A

 

ثانياُ : نضرب كل رقم بالأساس ( 16 ) ( لان الرقم المراد تحويله رقم سادس عشر ) مرفوع للأس الترتيب

2 × 160 = 2

10 × 161 =160

ثالثاُ : نجمع نواتج عملية الضرب

2 + 160 = 162

16( A2 ) = 10( 162 )

 

 

 

6)  ₁₆(DB9 )

أولا : رتب خانات  )منازل(  العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديا

ارجع جدول صفحة 7 تجد ان قيمة  B  = 11 , D = 13

لا تنسى أن تبدأ العدد من الرقم صفر

 

0	1	2
9	B	D

 

ثانياُ : نضرب كل رقم بالأساس ( 16 ) ( لان الرقم المراد تحويله رقم سادس عشر ) مرفوع للأس الترتيب

9 × 160 = 9

11 × 161 =176

13 × 162 =3328

ثالثاُ : نجمع نواتج عملية الضرب

9 + 176  3328+ = 3513

16(DB9) = 10(3513)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الدرس الثاني: التحويل من النظام العشري إلى أنظمة العد المختلفة

Ø      للتحويل من النظام العشري إلى أي نظام عد آخر نقوم بقسمة العدد العشري على أساس النظام المطلوب قسمة صحيحة .

Ø      إذا كان ناتج القسمة صفر نتوقف وإذا كان ناتج القسمة غير ذلك نستمر إلى أن نحصل على ناتج قسمة صفر .

Ø     

القسمة الصحيحة هي القسمة التي تعطينا  الناتج بدون كسور ولعمل القسمة الصحيحة نقوم بعمل قسمة طويلة كالمعتاد وعند الحصول على باقي أقل من المقسوم عليه نوقف القسمة ولا نضع فاصلة وصفر كما في القسمة الحقيقية؟ عند إجراء قسمة صحيحة لعدد صغير على عدد أكبر منه يكون الناتج فورا صفر والباقي هو البسط .

يجب الاحتفاظ بباقي القسمة في كل خطوة نقوم به او نحصل على الجواب النهائي بقراءة بواقي القسمة من اليمين إلى اليسار .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ø   جد قيمة كل من الأعداد التالية في النظام الثنائي

1)   ₁₀( 15 )

أولا نقسم العد ( 15 ) على الأساس العدد الثنائي ( 2 ) :

		15	7	3	1	قاعدة : إذا أصبح البسط اصغر من المقام يكون الناتج يساوي ( 0 ) و الباقي يساوي ( العدد الأصغر ) و ننهي عملية القسمة
الأساس		2	2	2	2
الناتج		7	3	1	0
الباقي		1	1	1	1
	نرتب البواقي من اليمن الى اليسار		2(1111)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)   ₁₀( 24 )

	24	12	6	3	1	قاعدة : إذا أصبح البسط اصغر من المقام يكون الناتج يساوي ( 0 ) و الباقي يساوي ( العدد الأصغر ) و ننهي عملية القسمة
الاساس	2	2	2	2	2
الناتج	12	6	3	1	0
الباقي	0	0	0	1	1
نرتب البواقي من اليمن الى اليسار		2(11000)

 

 

 

 

 

3)    

 

---

4)   ₁₀( 42 )

		42	21		10	5	2	1
الأساس		2	2		2	2	2	2
الناتج		21	10		5	2	1	0
الباقي		0	1		0	1	0	1
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار			2(101010)

 

 

 

 

 

 

---

Ø جد قيمة كل من الأعداد التالية في النظام الثماني

 

1)   ₁₀( 16 )

أولا نقسم العد ( 16 ) على الأساس العدد الثماني ( 8 ) :

		16	2		قاعدة : إذا أصبح البسط اصغر من المقام يكون الناتج يساوي ( 0 ) و الباقي يساوي ( العدد الأصغر ) و ننهي عملية القسمة
الأساس		8	8
الناتج		2	0
الباقي		0	2
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار			8(20)

 

 

 

 

 

 

 

2)   ₁₀( 23 )

		23	2
الأساس		8	8
الناتج		2	0
الباقي		7	2
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار			8(27)

 

 

 

 

 

 

---

3)   ₁₀( 52 )

		52	6
الأساس		8	8
الناتج		6	0
الباقي		4	6
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار			8(64)

 

 

 

 

 

 

---

4)   ₁₀( 294 )

	294	36	4
الأساس	8	8	8
الناتج	36	4	0
الباقي	6	4	4
نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار		8(446)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ø   جد قيمة كل من الأعداد التالية في النظام السادس عشر

 

1)   ₁₀( 352 )

أولا نقسم العد ( 352 ) على الأساس العدد السادس عشر  ( 16 ) :

	352	22	1	قاعدة : إذا أصبح البسط اصغر من المقام يكون الناتج يساوي ( 0 ) و الباقي يساوي ( العدد الأصغر ) و ننهي عملية القسمة
الأساس	16	16	16
الناتج	22	1	0
الباقي	0	6	1
نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار		16(160)

 

 

 

 

 

 

 

---

2)   ₁₀( 1379 )

		1379	86	5
الأساس		16	16	16
الناتج		86	5	0
الباقي		3	6	5
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار		16(563)

 

 

 

 

 

 

---

3)   ₁₀(900 )

		900	56	3
الأساس		16	16	16
الناتج		56	3	0
الباقي		4	8	3
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار		16(384)

 

 

 

 

 

 

 

 

4)   (2773 )

			2773	173		10
الأساس			16	16		16
الناتج			173	10		0
الباقي			5	13		10
				D		A
		نعوض القيم من 10 – 15 حسب ما يكافئها من الجدول صفحة 7
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار				16(AD5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

5)   (3643 )

			3643	227		14
الأساس			16	16		16
الناتج			227	14		0
الباقي			11	3		14
			B			E
		نعوض القيم من 10 – 15 حسب ما يكافئها من الجدول صفحة 7
	نرتب البواقي من اليمن إلى اليسار				16(E3B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الدرس الثالث : التحويل بين الأنظمة الثنائي والثماني والسادس عشر

يتم تحويل العدد من النظامين الثماني والسادس عشر إلى النظام الثنائي بطريقتين :

 

Ø  الطريقة الأولى ) التقليدية ):

 

1)  تحويل العدد إلى النظام العشري

2)  ثم تحويل الناتج إلى النظام الثنائي

Ø  الطريقة الثانية ) المباشرة(  :

1)  استبدال كل رقم من أرقام النظام الثماني بما يكافئه في النظام الثنائي والمكون من ثلاثة أرقام حسب الجدول الذي يبين رموز النظام الثماني وما يكافئها في النظام الثنائي

 

2)  كما يمكن استبدال كل رقم من أرقام النظام السادس عشر بما يكافئه في النظام الثنائي والمكون من أربعة أرقام حسب الجدول الذي يبين رموز النظام السادس عشر وما يكافئها في النظام الثنائي .

(  جدول يبين رموز النظام الثماني و السادس عشر وما يكافئها في النظام الثنائي )

النظام الثماني	المكافئ له في النظام الثائي		النظام السادس عشر	المكافئ له في النظام الثنائي		النظام السادس عشر	المكافئ له في النظام الثنائي
0	000		0	0000		8	1000
1	001		1	0001		9	1001
2	010		2	0010		A	1010
3	011		3	0011		B	1011
4	100		4	0100		C	1100
5	101		5	0101		D	1101
6	110		6	0110		E	1110
7	111		7	0111		F	1111

علل: يمكن التحويل من النظامين الثماني والسادس عشر إلى النظام الثنائي وبالعكس دون المرور بالنظام العشري . بسبب وجود ارتباط وثيق بين هذه الأنظمة ،فأساس النظام الثماني هو ( 8 ) و يساوي (23 = 8 )، و أساس النظام السادس عشر هو ( 16 ) و يساوي (24 = 16 )،أي أنهما من مضاعفات النظام الثنائي .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ø   جد قيمة كل من الأعداد التالية في النظام الثنائي

 

1)   ₈(67 )

 

نستبدل الأرقام  بنظام الثماني  بما يكافئها من النظام الثنائي حسب الجدول صفحة 17	7	6
	111	110
8(67)	2( 110111 )

 

 

 

2)     ₈(136 )

 

نستبدل الأرقام بنظام الثماني  بما يكافئها من النظام الثنائي حسب الجدول صفحة 17	6	3	1
	110	011	001
8(136)	2( 001011110 )

 

 

 

 

3)     ₈(420 )

 

نستبدل الأرقام بنظام الثماني  بما يكافئها من النظام الثنائي حسب الجدول صفحة 17	0	2	4
	000	010	100
8(420)	2( 100010000 )

 

 

4)     ₁₆(A2 )

 

نستبدل الأرقام نظام السادس عشر  بما يكافئها من النظام الثنائي حسب الجدول صفحة 17	2	A
	0010	1010
16(A2)	2( 10100010 )

 

 

 

5)   ₁₆(5BC )

 

نستبدل الأرقام نظام السادس عشر  بما يكافئها من النظام الثنائي حسب الجدول صفحة 17	C	B	5
	1100	1110	0101
16(5BC)	2( 010110111100 )

 

 

6)   ₁₆(10B )

 

نستبدل الأرقام نظام السادس عشر  بما يكافئها من النظام الثنائي حسب الجدول صفحة 17	B	0	1
	1011	0000	0001
16(10B)	2( 000100001011 )

 

Ø  تحويل العدد من النظام الثنائي إلى النظام الثماني كما يلي :

1)  تقسيم العدد الثنائي إلى مجموعات بحيث تتكون كل مجموعة من ثلاثة أرقام بدءا من يمين العدد . ( 2³ = 8 )

2)  إذا كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة نضيف أصفارا في نهايتها ؛كي تصبح مكونة من ثلاثة أرقام .

3)  استبدل كل مجموعة بما يكافئها في النظام الثماني ( جدول صفحة 17 )

 

 

Ø  جد قيمة كل من الأعداد التالية في النظام الثنائي

1)  ₂( 11001110110 )

نقسم العدد الثنائي الى مجموعات مكونة من ثلاث رموز	110	110	001	011	تم اضافة صفر حتى تكمل المجموعة من ثلاث رموز
نعوض كل مجموعة ثنائية بما يكافئها من النظام الثماني حسب الجدول صفحة 17	6	6	1	3
1)  اذن 2( 11001110110 )              8( 3166 )

 

 

 

 

 

 

 

2)  ₂(111010101100 )

نقسم العدد الثنائي الى مجموعات مكونة من ثلاث رموز	100	101	010	111
نعوض كل مجموعة ثنائية بما يكافئها من النظام الثماني حسب الجدول صفحة 17	4	5	2	7
2(111010101100)              8( 7254 )

 

 

 

3)  ₂(1101000010 )

نقسم العدد الثنائي الى مجموعات مكونة من ثلاث رموز	010	000	101	001
نعوض كل مجموعة ثنائية بما يكافئها من النظام الثماني حسب الجدول صفحة 17	2	0	5	1
2(1101000010)              8( 1502 )

 

 

 

Ø  تحويل العدد من النظام الثنائي الى النظام السادس عشر كما يلي :

1)  تقسيم العدد الثنائي الى مجموعات بحيث تتكون كل مجموعة من أربعة أرقام بدءا من يمين العدد . ( 2⁴ = 16 )

2)  إذا كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة نضيف أصفارا في نهايتها ؛كي تصبح مكونة من أربعة أرقام .

3)  استبدل كل مجموعة بما يكافئها في النظام السادس عشر ( جدول صفحة 17 )

 

Ø  جد قيمة كل من الأعداد التالية في النظام الثنائي

1)  ₂( 11001110110 )

نقسم العدد الثنائي الى مجموعات مكونة من أربعة رموز	0110	0111	0110	تم اضافة صفر حتى تكمل المجموعة من أربعة رموز
نعوض كل مجموعة ثنائية بما يكافئها من النظام السادس عشر حسب الجدول صفحة 17	6	7	6
2)  اذن2( 11001110110 )              16( 676 )

 

 

 

 

 

 

 

 

2)  ₂( 11111011110 )

نقسم العدد الثنائي الى مجموعات مكونة من أربعة رموز	1110	1101	0111	تم اضافة صفر حتى تكمل المجموعة من أربعة رموز
نعوض كل مجموعة ثنائية بما يكافئها من النظام السادس عشر حسب الجدول صفحة 17	E	D	7
3)  اذن  2(11111011110)              16( 7DE )

 

3)  ₂(11000101 )

نقسم العدد الثنائي إلى مجموعات مكونة من أربعة رموز	0101	1100	تم إضافة صفر حتى تكمل المجموعة من أربعة رموز
نعوض كل مجموعة ثنائية بما يكافئها من النظام السادس عشر حسب الجدول صفحة 17	5	C
4)  إذن  2(11000101)              16( C5 )

 

 

 

 

الفصل الثالث : العمليات الحسابية في النظام الثنائي

تنفذ العمليات الحسابية في النظام الثنائي بشكل مشابه لتنفيذها في النظام العشري .

علل : تنفيذ العمليات الحسابية في النظام الثنائي أسهل من تنفيذها في النظام العشري .

(   لأن النظام الثنائي يتكون من رقمين فقطهما (1,0) و أساسه  2 )

Ø  يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب في النظام الثنائي .

Ø  تنفذ عملية الجمع والطرح والضرب على النظام الثنائي ابتداء من جهة اليمين إلى اليسار .

 

أولا : عملية الجمع :

قواعد الجمع في النظام الثنائي :

o    0 + 0 = 0

o    0 + 1 = 1

o    1 + 0 = 1

o    1 + 1 = 10 (تُقرأ اثنين )

o    1 + 1 = 0  و يحمل الرقم 1  إلى الخانة التالية ( يحمل الرقم 1 باليد )

o    1 + 1 +1 = 1 و حمل الرقم 1 إلى الخانة التالية

o    1 + 1 + 1 + 1 = 0 و يحمل الرقم 10 الخانة التالية

Ø  ملاحظات هامة قبل البدء بعملية الجمع في النظام الثنائي :

1)  تنفذ عملية الجمع على عددين ثنائيين صحيحين موجبين فقط

2)  التأكد أن عدد المنازل للعددين متساوية وإذا لم تكن متساوية نضيف أصفار إلى يسار العدد ذي المنازل الأقل حتى يتساوى عدد منازل العددين .

3)  يمكن التأكد من الحل في أي عملية حسابية على النظام الثنائي بتحويل الأعداد إلى النظام العشري وإجراء العملية الحسابية

Ø  جد قيمة  Z في المعادلات التالية :

1)  ₂(101 ) + ₂(1011 )Z =

الحل :

		1	1	1		الرقم المحمول ( باليد )
	1	1	0	1		العدد الأول
+	1	0	1	0		العدد الثاني ( تم إضافة 0 ليسار العدد لتوحيد عد المنازل )
	0	0	0	0	1	الناتج
للتحقق من صحة الحل						11 + 5 = 16

---

2)  ₂(11 ) + ₂(100 )Z =

الحل :

						الرقم المحمول ( باليد )
	0	0	1			العدد الأول
+	1	1	0			العدد الثاني ( تم إضافة 0 ليسار العدد لتوحيد عد المنازل )
	1	1	1			الناتج
للتحقق من صحة الحل						4  + 3 = 7

 

 

 

3)  ₂(1101 ) + ₂(1110 )Z =

الحل :

				1
	0	1	1	1
+	1	0	1	1
	1	1	0	1	1

---

4)  ₂(1111111 ) + ₂(1110010 )Z =

الحل :

			1	1	1	1	1
	0	1	0	0	1	1	1
+	1	1	1	1	1	1	1
	1	0	0	0	1	1	1	1

---

5)  ₂(101101 ) + ₂(111111 )Z =

الحل :

		1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1
+	1	0	1	1	0	1
	0	0	1	1	0	1	1

ثانيا : عملية الطرح

قواعد الطرح  في النظام الثنائي :

·      1 - 1 = 0

·      1 - 0 = 1

·      0- 1 = 1 ( نستلف 1 من الخانة التالية )

·      0 - 0 = 0

 

1)            ملاحظات هامة قبل البدء بعملية الطرح في النظام الثنائي:

1)  تنفذ عملية الطرح على عددين ثنائيين صحيحين موجبين فقط

2)  أن يكون العدد المطروح أقل من العدد المطروح منه.

3)  الطريقة المعتمدة في الحل هي الطريقة الموضحة في المنهاج فقط و إي طريقة أخرى ، سواء كانت  الحل بطريقة (المتمة الأولى (1,S) والمتممة الثانية (2,S) ) غير معتمدة

4)  التأكد أن عدد المنازل للعددين متساوية وإذا لم تكن متساوية نضيف أصفار إلى يسار العدد ذي المنازل الأقل حتى يتساوى عدد منازل العددين .

 

·      عملية الاستلاف في النظام الثنائي مشابهة تماما لعملية الاستلاف في النظام العشري

1)  إذا كانت الخانة الأولى هي (0) والثانية هي (1) ؛فإننا نستلف من الخانة (1)

2)  إذا كانت الخانة الأولى (0) والثانية (0) والثالثة (1) نستلف من الخانة الثالثة وهكذا

3)  عند الاستلاف الخانة (0) تصبح (10) والخانة (1) تصبح (0)

4)  تذكرأن₂(10)تكافئ العدد 2 في النظام العشري ،

توضيح₂(10) –₂(1) = 1                ₁₀(2) –₁₀(1) = ₁₀(1)

 

1)  جد ناتج طرح₂(0101 ) من العدد ₂(1011 )

الحل :

			10	0		المستلف
	1	1	0	1		العدد الأول
-	1	0	1	0		العدد الثاني
	0	1	1	0		الناتج
للتحقق من صحة الحل						11 - 5 = 6

---

2)  جد ناتج طرح₂(1010 ) من العدد ₂(1100 )

الحل :

		10	0			المستلف
	0	0	1	1		العدد الأول
-	0	1	0	1		العدد الثاني
	0	1	0	0		الناتج
للتحقق من صحة الحل						12-10 = 2

---

3)  جد ناتج طرح  ₂(110010 ) من العدد  ₂(11001 )

الحل :

					10
	10	0		10	0	0	المستلف
	0	1	0	0	1	1	العدد الأول
-	1	0	0	1	1	0	العدد الثاني
	1	0	0	1	1	0	الناتج
للتحقق من صحة الحل								50-25 = 25

ثالثا : عملية الضرب

·      نتبع نفس قواعد الضرب المستخدمة في النظام العشري .

·      تنفذ عملية الضرب على أساس أن العددين المضروبين يتكونان بحد أقصى من ثلاثة أرقام ) خانات أو منازل ( .

·      يمكن التأكد من صحة الحل وذلك بتحويل كل من العدد الأول والثاني والنتيجة إلى النظام العشري .

 

 

 

 

1)  جد ناتج الضرب للعددين (101)₂ ، (10)₂

الحل :

	1	0	1
×	0	1
	0	0	0
+		1	0	1
	0	1	0	1	الناتج

 

 

 

 

 

 

للتحقق من صحة الحل5×2= 10

---

 

2)  جد ناتج الضرب للعددين (100)₂ ، (11)₂

الحل :

	0	0	1
×	1	1
	0	0	1
+		0	0	1
	0	0	1	1	الناتج

 

 

 

 

 

 

للتحقق من صحة الحل4×3 = 12

 

3)  جد ناتج الضرب للعددين (111)₂ ، (110)₂

الحل :

	1	1	1
×	0	1	1
	0	0	0	1	1
+		1	1	1
			1	1	1
	0	1	0	1	0	1	الناتج

 

 

 

 

 

 

 

للتحقق من صحة الحل7×6 = 42